Eduversal Mathematics Competition (EMC) adalah sebuah kompetisi matematika bergengsi yang diselenggarakan untuk mendorong dan mengasah kemampuan berpikir kritis, analitis, serta kreatif para siswa di Indonesia. Tujuan utama dari kompetisi ini adalah untuk menumbuhkan minat dan kecintaan siswa terhadap matematika, sekaligus menjadi ajang untuk menemukan bibit-bibit unggul yang berpotensi di bidang sains dan teknologi. EMC terbuka untuk siswa dari berbagai jenjang pendidikan, mulai dari SD, SMP, hingga SMA. Tahapan lombanya terdiri dari babak penyisihan yang diadakan secara online, yang kemudian dilanjutkan ke babak semifinal dan final bagi peserta yang lolos. Para pemenang EMC berkesempatan untuk mendapatkan hadiah menarik seperti medali, uang tunai untuk pendidikan, dan beasiswa.
Materi yang diujikan dalam EMC selalu disesuaikan dengan jenjang pendidikan peserta untuk memastikan relevansi dan tingkat kesulitan yang pas. Dalam artikel ini, kita akan secara khusus membahas materi untuk Kelas 11 SMA. Berdasarkan kisi-kisi yang ada, materi untuk kelas 11 mencakup topik-topik seperti
Perpangkatan, Deret, Suku Banyak, Fungsi, Persamaan Kuadrat, Trigonometri, Peluang, Geometri, Teori Bilangan, dan Kombinatorika. Tanpa berlama-lama lagi, mari kita uji kemampuanmu dengan mengerjakan contoh soal EMC babak penyisihan tahun 2019 berikut.
Contoh Soal EMC Kelas 11
1) Fungsi $f(x)$ menyatakan hasil penjumlahan semua pembagi positif dari bilangan asli selain itu sendiri, dengan kesepakatan $f(1)=1$. Contohnya, $f(20)=1+2+4+5+10=22$ dan $f(19)=1$. Nilai $f(…f(f(f(2019))))$, dengan fungsi f diterapkan sebanyak 2019 kali, adalah
2) Nilai $(\sin(15^{\circ})+\sin(75^{\circ}))^{2}$ adalah
3) Diberikan tiga titik A, B, C dengan koordinat $A(4,5,16); B(5,2,10); C(7,10,18)$. Pada ruas garis BC ditempatkan titik D sehingga BD: DC = 3:2. Koordinat titik D yang tepat adalah
4) Banyaknya bilangan asli yang habis membagi 10! adalah
5) Berdasarkan survey yang dilakukan pada suatu sekolah menengah dengan jumlah siswa 720 anak diperoleh data sebagai berikut: 20% siswa tidak memiliki akun instagram. 55% siswa tidak memiliki akun twitter. 15% siswa memiliki akun twitter tetapi tidak memiliki akun instagram. Berapa jumlah siswa yang memiliki akun instagram namun tidak memiliki akun twitter?
6) Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 14 cm, 25 cm, dan 25 cm. Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah … cm.
7) Kawat sepanjang 33 meter digunakan untuk membuat kerangka seperti pada gambar. [IMAGE 7] Jika panjang $AB=BC=CA=2AD=x$ meter, besar nilai x adalah
8) Andi, Budi, Candra, Dodi dan Edi sedang latihan baris-berbaris dan mereka ingin membentuk sebuah barisan. Andi harus baris di posisi pertama (paling depan), Budi tidak ingin baris di urutan ganjil, sedangkan Candra dan Dodi tidak ingin baris bersebelahan. Ada berapa posisi yang dapat ditempati oleh Edi?
9) Fungsi f memenuhi $f(x)+2f(-x)=x$ untuk tiap bilangan real x. Berapakah nilai $f(2019)$?
10) Sebuah wadah berisi 3 bola merah, 4 bola kuning, dan 5 bola hijau. Diambil 3 bola sekaligus. Berapa peluangnya bahwa di antara bola-bola yang terambil itu hanya ada dua warna yang berbeda?
11) Diketahui suku banyak $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi $x^{2}+2$ dan $x+b,$ maka nilai dari $ab = …$
12) Diberikan suatu kata, sebuah program komputer menghapus semua huruf selain A, E, S. Contohnya, kata MATHEMATICS setelah dilakukan penghapusan oleh program tersebut akan menjadi kata AEAS. Ada berapa permutasi dari kata EDUVERSAL yang setelah dilakukan penghapusan oleh program tersebut akan menjadi kata EASE?
13) Nilai maksimum dari $f(x)=|x^{2}-2x-3|$ saat $-4\le x\le5$ adalah
14) Misalkan $x=y+z$ dengan x,y,z adalah bilangan-bilangan real. Mana di antara pernyataan di bawah ini yang pasti benar?
15) Di dalam sebuah kotak terdapat m bola merah dan n bola putih dengan $m+n=8$. Jika bola diambil sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambil dua bola tersebut berbeda warna adalah $\frac{1}{2}$. Nilai dari $m^{2}+n^{2}$ adalah
16) Untuk bilangan-bilangan real positif $a,b>0$ nilai terbesar yang dapat dicapai oleh $F=\frac{a}{a+b}+\frac{2b}{a+2b}$ adalah
17) Banyaknya pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi sistem persamaan berikut $3x^{2}+2y^{2}=1$, $2x^{2}+y^{2}=3$ adalah
18) Banyaknya nilai x dengan $0\le x\le2014\pi$ yang memenuhi $cos^{3}x-cos^{2}x-4\sin^{2}(\frac{x}{2})=0$ adalah
19) Andi ingin menuliskan sebuah bilangan asli 8 digit, hanya boleh mengandung angka 1, 2, 3, tapi harus mengandung tepat 4 buah angka 1. Ada berapa kemungkinan bilangan asli yang dapat ditulis oleh Andi?
20) Ada berapa bilangan asli x yang memiliki sifat bahwa bilangan 2019 akan bersisa 18 ketika dibagi oleh x?
21) Jika polinomial $p(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$ dibagi oleh suatu polinomial $d(x)$ yang berderajat 2, sisanya adalah $x+1$. Berapa nilai $d(0)$?
22) Banyaknya pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi persamaan $a^{2}+b^{2}+2(a+b)=23$ adalah
23) Sebuah “dadu” berbentuk limas segitiga beraturan memiliki empat sisi. Pada keempat sisinya berturut-turut terdapat satu, dua, dua, dan tiga mata dadu. Ketika dadu limas tersebut dilempar, angka yang dicatat adalah mata dadu pada sisi yang menghadap ke lantai. Jika kita melempar dadu limas tersebut sebanyak tiga kali, berapa peluangnya didapat total mata dadu sejumlah lebih dari 7? (Catatan: diasumsikan dadunya setimbang)
24) Budi ingin menyusun sembilan bukunya pada sebuah rak yang terdiri dari tiga baris, dan tiap baris muat tiga buku. Jika kesembilan bukunya berbeda semua, ada berapa kemungkinan susunan yang dapat dibuat oleh Budi?
25) Fungsi f terdefinisi pada semua bilangan real, dan berlaku $f(x+y)-f(x-y)=2y(2x-1)$ untuk semua bilangan real x, y. Jika diketahui $f(1)=2019$ berapa nilai $f(-1)$?
26) Banyaknya bilangan bulat yang memenuhi $|x|-1
27) Diketahui bahwa p, 2p+1, 4p+1 masing-masingnya adalah bilangan prima. Di antara tiga bilangan $8p+1$, $16p+1$, $32p+1$ ada berapa yang merupakan bilangan prima?
28) Diketahui $(\sin a)^{2}=(\cos b)^{2}=1/2$ dengan a, b di interval tertutup $[-\pi,\frac{\pi}{2}]$. Banyaknya pasangan (a, b) yang memenuhi adalah
29) Misalkan akar-akar persamaan $2x^{3}-7x^{2}-10x+24=0$ adalah $x_{1}$, $x_{2}$ and $x_{3}$. Nilai $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ adalah.
30) Diberikan tiga himpunan $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2\}$, $C=\{1,2,3,4\}$, dan sebuah fungsi $f:A\rightarrow C$. Di antara pilihan berikut, mana yang merupakan syarat PERLU dan CUKUP agar f dapat dinyatakan sebagai komposisi dari suatu fungsi $A\rightarrow B$ dengan suatu fungsi $B\rightarrow C:$?
31) Diberikan sebuah persegi ABCD dengan sisi 4 satuan panjang. Selanjutnya dibuat persegi dengan cara menghubungkan keempat titik tengah masing-masing sisi pada persegi ABCD. Kemudian dengan cara yang sama dibentuk persegi ketiga, keempat, kelima dan seterusnya seperti gambar di bawah ini. [IMAGE 31] Berapakah total luas persegi-persegi tersebut?
32) Polinomial $P(x)$ semua koefisiennya bulat, serta diketahui $P(2019)=2018$ dan $P(2018)=2019$. Diketahui ada bilangan bulat lain $a\ne2018$ yang memenuhi $P(a)=2019$. Nilai a adalah
33) Jika $\sin(x+15^\circ)=a$ dengan $0^\circ\le x\le30^\circ,$ maka nilai $\cos(2x+60^\circ)$ adalah
34) Sisa pembagian suku banyak $f(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}-x+5$ oleh $x^{2}-x-6$ adalah
35) Misalkan p adalah bilangan prima yang lebih besar dari 3, sehingga $2p+1$ juga bilangan prima. Berapa sisanya ketika p dibagi 3?
36) Diberikan koordinat tiga titik $A(\frac{20}{19},\frac{19}{20})$, $B(\frac{20}{17},\frac{19}{20})$, $C(\frac{2019}{2017},\frac{21}{20})$ pada bidang datar. Jika luas segitiga ABC dinyatakan sebagai $p/q$ dengan p dan q adalah dua bilangan asli yang tidak mempunyai faktor bersama, maka nilai p+q adalah
37) Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 5 cm, 12 cm, dan 13 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah … cm.
38) Barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dan seterusnya, adalah barisan yang tiap sukunya merupakan hasil penjumlahan dari dua suku sebelumnya. Misalkan $a_{n}$ menyimbolkan suku ke-n pada barisan Fibonacci tersebut, mulai dari suku pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya. Suatu bilangan A diberikan sebagai berikut, $A=\frac{a_{2}}{a_{1}a_{3}}+\frac{a_{4}}{a_{3}a_{5}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a_{100}}{a_{99}a_{101}}$ Nilai $\frac{a_{101}\times A}{a_{101}-1}$ adalah
39) Misalkan $\sin(\pi \cos(x))=-1$, dengan bilangan real x di interval tertutup [0, 2π]. Banyaknya bilangan real x yang memenuhi adalah
40) Banyaknya pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi $a(a+b)=2000$ adalah
41) Misalkan $a\le b\le c$ adalah bilangan-bilangan prima yang membentuk barisan aritmatis. Jika diketahui bahwa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ adalah bilangan bulat, maka nilai a yang memenuhi ada sebanyak
42) Dalam sebuah kantong terdapat 6 koin, yang 3 koin di antaranya dicurangi dan 3 koin lainnya setimbang. Tiap koin yang dicurangi memiliki bobot yang tidak setimbang pada kedua sisinya, sehingga jika koin yang dicurangi itu dilempar maka peluang didapat sisi Angka adalah dua kali lipatnya peluang didapat sisi Gambar. Andi mengambil 2 koin dari wadah sekaligus, kemudian melemparnya. Misalkan peluangnya bahwa dari hasil pelemparan itu didapat dua sisi Angka adalah $m/n$ (dalam bentuk yang paling sederhana). Nilai $m+n$ adalah
43) Bilangan bulat A dapat dinyatakan sebagai $A=\sqrt{19+\sqrt{n}}-\sqrt{19-\sqrt{n}}.$ Tentukan nilai bilangan bulat positif n terkecil yang memungkinkan.
44) Dua konstanta $a, b\in(0,\frac{\pi}{2}]$ dipilih sehingga untuk tiap bilangan real x selalu berlaku $cos(x)-sin(x)=a\cos(x+b)$. Hasil penjumlahan $\sin(a^{2}b)+\sin(a^{4}b)+\sin(a^{6}b)+\cdot\cdot\cdot+\sin(a^{2018}b)$ adalah
45) Misalkan $x=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}$ dengan a, b, c bilangan real. Banyaknya nilai yang mungkin dari x adalah
Pembahasan Soal EMC Kelas 11
Bagaimana soalnya, apakah kamu berhasil menemukan jawabannya? Soal-soal dalam kompetisi matematika seperti EMC seringkali membutuhkan trik dan pemahaman konsep yang mendalam, bukan hanya sekadar kemampuan menghitung. Tips terbaik untuk bisa mengerjakan soal-soal seperti ini dengan lancar adalah dengan memperbanyak latihan. Dengan berlatih secara rutin, kamu akan terbiasa mengenali pola-pola soal dan menemukan strategi penyelesaian yang paling efektif dan efisien.
Untuk pembahasan lengkap soal di atas dan latihan soal lainnya, kamu bisa langsung mengunjungi halaman pembahasan soal EMC melalui bimbel.net/eduversal.
