Contoh Soal Eduversal Mathematics Competition Final Kelas 12 SMA Tahun 2021

Eduversal SMA Kelas 12

Atur ukuran teks artikel ini untuk mendapatkan pengalaman membaca terbaik.

Eduversal Mathematics Competition (EMC) adalah sebuah kompetisi matematika tingkat nasional yang sangat prestisius dan dinantikan oleh para pelajar di Indonesia. Ajang ini diselenggarakan oleh Eduversal Foundation dengan tujuan untuk memupuk minat dan bakat siswa di bidang matematika, serta mengasah kemampuan berpikir logis, analitis, dan kreatif. EMC membuka kesempatan bagi siswa dari jenjang SD, SMP, hingga SMA untuk berkompetisi dan mengukur kemampuan mereka. Tahapan lomba terdiri dari babak penyisihan yang dihelat secara online, diikuti oleh babak final yang mempertemukan para peserta terbaik. Bagi para juara, tersedia hadiah-hadiah menarik berupa medali, uang tunai, dan beasiswa pendidikan yang dapat menunjang masa depan akademis mereka.

Materi yang diujikan dalam EMC selalu dirancang agar sesuai dengan kurikulum dan tingkat pemahaman peserta di setiap jenjang. Untuk artikel kali ini, kita akan fokus pada contoh soal untuk babak final Kelas 12. Sesuai dengan kisi-kisi, materi untuk Kelas 12 mencakup berbagai topik lanjutan yang menantang, di antaranya adalah Perpangkatan, Deret, Suku Banyak, Fungsi, Persamaan Kuadrat, Trigonometri, Analisa Data, Peluang, Geometri, Teori Bilangan, dan Kombinatorika, yang seringkali diintegrasikan dengan konsep kalkulus. Soal babak final menuntut pemahaman mendalam dan strategi penyelesaian yang efektif. Mari uji kemampuanmu dengan contoh soal EMC Tahun 2021 berikut.

Contoh Soal EMC Kelas 12

1) Jika titik $A(2,-3,4)$; B (5, 1, 0); $C(8,5,p+2)$ kolinear (segaris), maka nilai p =

A) -2
B) -8
C) -6
D) -10

2) Pada sebuah segitiga, nilai numerik kelilingnya (dalam cm) sama dengan nilai numerik luasnya (dalam $cm^{2}$). Berapa jari-jari lingkaran dalamnya?

A) 2
B) 1
C) $\sqrt{3}$
D) belum dapat ditentukan

3) Sebuah titik dirotasi terhadap suatu titik P, kemudian dicerminkan terhadap titik P, dan ternyata hasil akhirnya kembali ke titik semula. Ada berapa kemungkinan untuk sudut rotasinya? Catatan: sudut rotasi diambil dari interval buka (-360°, $360^{\circ}$).

A) 2
B) tak terhingga banyaknya
C) 3
D) 1

4) Diketahui $\frac{n^{2}-50}{n+1}=x$, jika n dan x adalah bilangan bulat positif. Berapakah nilai terbesar dari x?

A) 50
B) 48
C) 44
D) 46

5) Diberikan balok STUVWXYZ, panjang rusuk $ST=6~cm$, $TU=12$ cm, $UY=8$ cm. Titik L terletak tepat di tengah-tengah diagonal WY. Jarak titik T ke titik L adalah

A) $5\sqrt{2}$
B) $\sqrt{73}$
C) 5
D) $\sqrt{109}$

6) Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi: $f(x)=x^{2020}-2x^{2019}+3x^{2018}-4x^{2017}+\cdot\cdot\cdot-2020x+2021$ untuk sebarang bilangan real x!

A) 1008
B) 1010
C) 1011
D) 1009

7) Daus ingin menabung uang di celengan dan dia menabung lebih banyak Rp.1.000 dari hari sebelumnya. Hari pertama Daus menabung Rp.20.000, setelah beberapa hari, dia menggunakan uang yang ada di celengannya untuk membeli barang seharga Rp.750.000 sehingga uang di celengannya bersisa Rp.50.000. Jika hari pertama menabung adalah hari selasa, maka pada hari apakah Daus membeli barang tersebut?

A) Kamis
B) Selasa
C) Jumat
D) Rabu

8) Suatu kompetisi matematika tingkat SMA yang terdiri dari 345 siswa perempuan dan 284 siswa laki-laki. Siswa tersebut akan diurutkan berdasarkan tanggal saat melakukan pendaftaran. Berapa nilai terbesar m sehingga dapat dijamin ada sedikitnya m mahasiswa yang memiliki tanggal pendaftaran yang sama, jika pendaftaran kompetisi matematika dilakukan pada 21 Juli hingga 21 Agustus?

A) 33
B) 20
C) 17
D) 100

9) Diberikan barisan bilangan bulat A1, A2, A3,… dengan sifat $a_{n}=a_{n-1}^{2}+a_{n-2}^{2}+a_{n-3}^{2}$ untuk setiap $n\ge4$. Jika $a_{k}=2021$ maka nilai terbesar yang mungkin untuk k adalah

A) 8
B) 4
C) 3
D) 2

10) Hitunglah banyaknya bilangan real yang memenuhi persamaan berikut. $x^{4}-12x^{3}+37x^{2}-12x+36=0$

A) 4
B) 1
C) 3
D) 6

11) Lima buah kota dinomori 6, 10, 15, 63, dan 77. Diantara dua kota dibangun jalan jika dan hanya jika nomor kedua kota memiliki faktor persekutuan terbesar (FPB) lebih besar dari 1. Ada berapa jalan yang dibangun diantara lima kota tersebut?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

12) Banyaknya angka 0 di belakang 2021! (tanda seru berarti faktorial) adalah

A) 504
B) 501
C) 503
D) 502

13) Perhatikan sebuah polinomial $p(x)=x^{4}+ax^{3}+bx+c$. Jika $p(1)-p(-1)=6$ dan $p(2)-p(-2)=24,$ maka $p(3)-p(-3)=$

A) 54
B) 11
C) 66
D) 32

14) Diketahui $3^{2021}+3^{2022}+3^{2023}+3^{2024}=x$ dan $17^{2021}+17^{2022}+17^{2023}+17^{2024}=y$. Jika suatu bilangan bulat positif z habis membagi x dan habis membagi y maka, Nilai terbesar dari z adalah

A) 80
B) 8
C) 40
D) 20

15) Bilangan enam digit $4a782b$ habis dibagi 8 dan 9. Tentukan nilai dari $2a-3b$.

A) 4
B) 8
C) -4
D) -8

16) Diketahui $x=\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{\cdot\cdot}}}$ dan $f(x)=x^{2}-5x+4$. Berapakah nilai terbesar dari $f(x)$?

A) 40
B) 65,5
C) 4
D) 15,25

17) Sebuah fungsi f memenuhi $f(x+1)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$ untuk setiap bilangan bulat x. Jika $f(1)=21,$ maka $f(2021)=$____.

A) 5
B) 2021
C) 1
D) 21

18) Dua buah bilangan asli n dan m salah satunya 2-digit dan satunya lagi 1-digit, memenuhi $n^{2}-m^{2}=2021$. Berapakah $n+m$?

A) 43
B) 34
C) 54
D) 47

19) Diketahui $f(3x-2)=6x-8$ untuk setiap bilangan real, maka nilai dari $f(10)-f(5)$?

A) 6
B) 5
C) 16
D) 10

20) Diketahui $a^{2}+b^{2}=192$, $a+b=72,$ dan $c=a\cdot b-2000$ jika d adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat habis membagi a, b dan dapat habis membagi c. Berapakah bilangan d tersebut?

A) 16
B) 64
C) 128
D) 32

21) Anak-anak RT 03 yang terdiri dari 8 anak akan membuat tim basket. Tim ini terdiri dari 5 tim inti yang dipimpin satu kapten, sedangkan 3 orang lainnya akan menjadi tim cadangan. Ada berapa banyak kemungkinan untuk pembentukan tim tersebut?

A) 560
B) 6720
C) 280
D) 13440

22) Sebuah keranjang berisi 4 bola merah berbeda dan 4 bola biru berbeda. Diambil sejumlah bola secara acak (banyaknya bola yang diambil tidak ditentukan, tapi tidak nol). Misalkan peluang bahwa banyaknya bola merah yang terambil sama dengan banyaknya bola biru yang terambil adalah $\frac{m}{b}$ dengan m, b bilangan asli dan $FPB(m,b)=1$. Nilai $m+b$ adalah

A) 16
B) 324
C) 108
D) 221

23) Fungsi Totient $\varphi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan asli yang lebih kecil dari atau sama dengan bilangan asli n dan relatif prima dengan n. Contohnya, $\varphi(1)=1$, $\varphi(2)=1$, $\varphi(3)=2$ dan $\varphi(4)=2$. Banyaknya bilangan asli n sehingga $\varphi(n)=4$ adalah.

A) 4
B) 3
C) 16
D) 2

24) Vektor $\vec{A}=\hat{i}-\hat{j}$ di translasi sejauh (-a, -b) dan vektor $\vec{B}=d\hat{i}+c\hat{j}$ di rotasi sejauh $180^{\circ}$ terhadap (0,0) berlawanan jarum jam menghasilkan bayangan yang sama persis. Tentukan nilai dari $a-b+c-d$.

A) 2
B) 1
C) 0
D) 3

25) Jika $m\ge n>1$ maka nilai maksimum untuk $^{m}log(\frac{m}{n})+^{n}log(\frac{n}{m})$ adalah.

A) -1
B) 1
C) -2
D) 0

26) Sebuah segitiga siku-siku memiliki jari-jari lingkaran luar 5. Jika jari-jari lingkaran dalamnya sebesar mungkin, maka pilihan yang nilainya paling dekat dengan keliling segitiga adalah

A) 2
B) 24
C) 25
D) 7

27) Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 5 dan rasio $\frac{1}{1+r}$ adalah 15 dengan $0

A) 5
B) 15
C) 10
D) 45

28) Diketahui f suatu fungsi sehingga $2f(\frac{20}{x})-f(20x)=x$ untuk setiap bilangan real x. Bilangan bulat yang terdekat dengan nilai $f(\frac{20}{21})$ adalah

A) 14
B) 35
C) 21
D) 42

29) Diketahui $2021 \cdot 10^{2021}+x=y$ dengan x, y bulat. Jika y habis dibagi 9. Nilai positif terkecil yang mungkin untuk x adalah

A) 2
B) 3
C) 5
D) 4

30) Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2a cm. Tentukan jarak dari titik A ke titik tengah diagonal HF.

A) a cm
B) 2a cm
C) $a\sqrt{2}$ cm
D) $a\sqrt{6}$ cm

31) Banyaknya bilangan asli 5-digit yang hanya mengandung dua digit berbeda adalah

32) Lima orang masing-masing bernama A, B, C, D, dan E. Di dalam kelompok tersebut A kenal 3 orang, B kenal 2 orang, A dan B tidak saling kenal, C tidak kenal D, dan E hanya kenal A. Pada suatu acara kelima orang ini berkumpul. Ada berapa pasang orang yang sudah kenal satu sama lain sebelum acara tersebut? Anggap jika P mengenal Q maka Q juga mengenal P.

33) Misalkan x adalah bilangan bulat positif kurang dari 2021. Ada berapa banyak kemungkinan untuk x jika $x^{9}-x^{7}+x^{5}-x^{3}+x-1$ dapat dibagi 5?

34) Jika bilangan real x adalah irrasional tetapi bilangan $x^{2}+x$ dan $x^{3}-4x$ keduanya rasional, maka nilai $x^{3}+4x^{2}$ adalah

35) Jika a, b, c, d bilangan real sehingga $\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{c+d+a}=\frac{c}{d+a+b}\ge\frac{1}{5}$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $\frac{d}{a+b+c}$ adalah

36) Misalkan $P(x)$ polinomial sehingga $P(P(x))=8x^{4}+bx^{2}$ untuk setiap bilangan real, dengan b konstan. Banyaknya nilai yang mungkin untuk $P(0)$ adalah

37) Jika $n\le10$ adalah bilangan asli sehingga $n^2, (n-1)(n-2), (n-3)(n-4)$ merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga, maka penjumlahan dari keliling minimum dan keliling maksimumnya adalah

38) Pada trapesium ABCD, sisi AB dan CD sejajar. Diketahui bahwa sudut C dua kali sudut A. Jika $BC=DC,$ maka nilai $\frac{\angle DBC}{\angle ABD}$ adalah

39) Jika $a\le1$ dan $b\ge0$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $4ab-b^{2}$ adalah

40) Sebuah koin setimbang dilempar empat kali. Peluangnya bahwa banyaknya sisi Angka yang didapat lebih besar dari banyaknya sisi Gambar adalah $\frac{m}{n}$ dengan m, n bilangan asli dan $FPB(m,n)=1$. Nilai $m+n$ adalah