Eduversal Mathematics Competition (EMC) adalah sebuah kompetisi matematika bergengsi yang diselenggarakan secara tahunan di Indonesia. Ajang ini bertujuan untuk menumbuhkan minat dan kecintaan siswa terhadap matematika, serta menjadi platform untuk mengasah kemampuan berpikir kritis, analitis, dan kreatif. EMC menargetkan peserta dari berbagai jenjang pendidikan, mulai dari Sekolah Dasar (SD), Sekolah Menengah Pertama (SMP), hingga Sekolah Menengah Atas (SMA). Kompetisi ini memiliki beberapa tahapan, dimulai dari babak penyisihan yang diadakan secara daring, hingga babak final yang mempertemukan para talenta matematika terbaik dari seluruh penjuru negeri. Para pemenang akan dianugerahi hadiah-hadiah menarik seperti medali, uang tunai, dan beasiswa pendidikan.
Materi yang diujikan dalam EMC selalu disesuaikan dengan kurikulum dan tingkat kemampuan masing-masing jenjang pendidikan. Artikel kali ini akan berfokus pada contoh soal untuk babak final Kelas 11. Sesuai dengan kisi-kisi yang ada, materi untuk Kelas 11 mencakup topik-topik yang kompleks dan menantang, seperti
Perpangkatan, Deret, Suku Banyak, Fungsi, Persamaan Kuadrat, Trigonometri, Analisa Data, Peluang, Geometri, Teori Bilangan, dan Kombinatorika. Soal babak final tentu membutuhkan pemahaman konsep yang lebih dalam dan strategi pemecahan masalah yang kreatif. Siapkah kamu menjajal soal setingkat finalis? Mari kita coba kerjakan contoh soal EMC Tahun 2022 di bawah ini.
Contoh Soal EMC Kelas 11
1) Banyaknya bilangan asli yang lebih kecil dari 2022 dan bersisa 1 ketika dibagi 13 adalah
2) Banyaknya segitiga tak sebangun yang panjang sisi-sisinya bilangan bulat dan kelilingnya 7 adalah
3) Polinomial $P(x)$ berderajat n dan memenuhi $P(P(x))-P(x^{2})=2x^{2}$ untuk setiap bilangan real x. Hasil penjumlahan dari semua nilai n yang mungkin adalah
4) Persamaan $x^{2}+bx+c=0$ akan memiliki dua solusi real yang berbeda jika dan hanya jika
5) Banyaknya bilangan asli $n\le2022$ dengan $cos(n\pi)=-1$ adalah
6) Jika $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ dengan a, b, c bulat, maka banyaknya solusi dari persamaan $P(x)=0$ yang merupakan bilangan rasional tak bulat adalah
7) Jika $x^{2}-3x-7=0$ dan $x^{3}+x^{4}=ax+b$ dengan a, b bilangan asli, maka $a+b=\cdot\cdot\cdot$
8) Banyaknya bilangan asli 3 digit sehingga digit ratusan dan satuannya jika dijumlahkan menghasilkan 8 adalah
9) Banyaknya bilangan prima q sehingga $\frac{2q^2}{1+2+…+q}$ bulat adalah
10) Banyaknya permutasi dari kata SAATINIJUGA yang tidak memuat kata SATU adalah
11) Jika $sin(x) – sin(2x) = 1$ maka $cos^3(x) – cos(x) =$
12) Banyaknya bilangan asli kurang dari 2022 yang relatif prima dengan 1011 adalah (catatan: dua bilangan disebut relatif prima jika FPB-nya 1)
13) Banyaknya bilangan real yang memenuhi persamaan $(1-x)(x-2)=\sqrt{x^{2}-6x+9}$ adalah
14) Grafik fungsi $f(x)=\lfloor x-x^{2}\rfloor$ memotong garis $y=x$ sebanyak ____ kali. (catatan: fungsi floor $\lfloor A \rfloor$ didefinisikan sebagai pembulatan ke bawah, yaitu bilangan bulat terbesar yang nilainya $\le A$).
15) Barisan 1, 2, 2, 3, 3, 3, … memiliki pola bahwa barisan tersusun naik dan setiap bilangan asli k muncul sebanyak k kali secara berurutan. Banyaknya nilai n sehingga suku ke-n pada barisan tersebut habis dibagi n adalah
16) Jika garis $y=2x+3$ digeser 4 satuan ke kanan dan 5 satuan ke bawah, maka hasilnya adalah garis dengan persamaan
17) Banyaknya bilangan prima $p<30$ sehingga $sin(\frac{p\pi}{3})=\frac{1}{2}$ adalah
18) Jika p, $2p+1$, dan $4p+1$ semuanya adalah bilangan prima, maka banyaknya nilai p yang memenuhi adalah
19) Fungsi $f(x)=|x-1|-|2-x|$ memotong sumbu x sebanyak ____ kali.
20) Polinomial $P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx$ memenuhi $P(k)=P(k-1)=P(k-5)=0$ untuk suatu bilangan real $k>0$. Nilai $P(4)$ adalah
21) Jika n dan m adalah bilangan bulat sehingga $nm+n^{2}=m^{2}$ maka banyaknya nilai yang mungkin untuk $n+m$ adalah
22) Sebuah barisan aritmatika memiliki selisih yang sama dengan rata-rata suku pertama dan suku ke-10. Banyaknya kemungkinan untuk selisih barisan tersebut adalah
23) Titik A, B, C terletak pada keliling sebuah lingkaran sehingga panjang $AB=7$, $BC=24$, $CA=25$. Keliling lingkaran tersebut adalah
24) Sebuah barisan geometri memiliki rasio yang sama dengan hasil kali suku pertama dan suku ke-10. Banyaknya kemungkinan untuk nilai suku ke-5 pada barisan tersebut adalah
25) Garis $x+2y=3$ dicerminkan terhadap garis $y=x$, kemudian digeser 1 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas. Hasil akhirnya adalah garis dengan persamaan
26) Banyaknya bilangan bulat m sehingga $\frac{2m}{3m+4}$ juga bulat adalah
27) Jika $\lfloor nx\rfloor=n$ dengan n konstanta tak nol, maka banyaknya nilai bulat x yang memenuhi adalah (catatan: simbol $\lfloor \cdot\cdot\cdot \rfloor$ berarti floor atau pembulatan ke bawah)
28) Diketahui ketaksamaan $x^{3}+x\ge2ax^{2}$ berlaku untuk setiap $x\ge0$. Nilai terbesar yang mungkin untuk konstanta a adalah
29) Pola bilangan berikut ini: 1; 1,2; 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4; dan seterusnya, digabung menjadi satu barisan sebagai berikut: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, …… Banyaknya nilai $n\le2022$ sehingga suku ke-n pada barisan tersebut ganjil adalah
30) Polinomial $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ memenuhi $P(0)=P(1)=P(2)$. Nilai $P(3)-P(2)$ adalah.
31) Titik A, B, C terletak pada keliling sebuah lingkaran sehingga panjang $AB=5$, $BC=12$, $CA=13$. Keliling lingkaran tersebut adalah
32) Banyaknya solusi dari persamaan sin $3x=1$ dengan $x\in[-2\pi,\pi]$ adalah
33) Misalkan p, q bilangan prima sehingga $p^{p}+q^{q}$ bersisa 1 ketika dibagi oleh max{p, q}. Berapa sisanya jika max{p, q} dibagi oleh min{p, q}?
34) Jika $2^{a}+2^{b}=4^{c}$ dengan a, b, c bilangan asli, maka banyaknya nilai $a\le2022$ yang mungkin adalah
35) Banyaknya cara berbaris untuk 4 orang siswa laki-laki dan 2 orang siswa perempuan jika kedua siswa perempuan harus dipisahkan oleh genap banyaknya siswa laki-laki adalah (catatan: 0 termasuk bilangan genap)
36) Persamaan $|x+a|=b$ akan memiliki dua solusi real x yang berbeda jika dan hanya jika
37) Banyaknya bilangan real $x\in[0,4\pi]$ dengan $tan(x)=cot(x)$ adalah
38) Fungsi f memenuhi $f(x)+2f(1-x)=x$ untuk setiap bilangan real x. Banyaknya solusi dari persamaan $f(x)=0$ adalah
39) Banyaknya segitiga tak sebangun yang panjang sisi-sisinya bilangan bulat dan kelilingnya 8 adalah
40) Banyaknya solusi dari persamaan $\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=(x-1)(x-2)$ adalah
Pembahasan Soal EMC Kelas 11
Bagaimana, apakah soal di atas cukup menguras pikiran? Soal tersebut merupakan contoh klasik dari materi Teori Bilangan, khususnya persamaan Diophantine. Untuk menyelesaikannya, diperlukan kemampuan manipulasi aljabar untuk mengubah bentuk persamaan menjadi lebih sederhana dan kemudian menganalisis faktor-faktor bilangannya. Tips agar bisa menaklukkan soal semacam ini adalah dengan sering berlatih soal-soal non-rutin dan membiasakan diri dengan trik-trik aljabar yang kreatif. Penguasaan konsep faktor dan pembagi suatu bilangan menjadi kunci utama.
Untuk pembahasan lengkap soal di atas dan latihan soal lainnya, kamu bisa langsung mengunjungi halaman pembahasan soal EMC melalui bimbel.net/eduversal.
